集群网络中汽车碰撞的并行计算
时间：2008-12-09 14:49:00
来源：UltraLAB图形工作站方案网站
人气：7632
作者：admin
摘要：汽车碰撞是一种包含几何非线性、材料非线性和边界非线性的大规模冲击接触问题。这类复杂问题的数值模拟极为耗时，在没有超级计算机的条件下，很难获得满意的计算精度和计算效率。在普通实验室条件下，本文采用Linux系统和MPI 并行平台，通过百兆以太网组建了使用灵活、可扩展性强、低成本高性能的网络集群并行计算系统，满足了汽车碰撞数值模拟对存储规模和计算速度的迫切要求。某轻型客车的数值算例表明，该系统具有很高的并行计算效率，对汽车结构耐撞性研究提供了非常先进的计算环境。
关键词：网络集群系统 并行计算 汽车结构耐撞性 大规模冲击接触 有限元法
Numerical Simulation of Automotive Collision using Clustered Parallel Computers
Kong Fanzhong, Zhang Jinhuan, Wang Dazhi, Huang Shilin
State Key Lab of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University
[Abstract] With large deformation, the behavior of impact-contact computation presents geometric non-linearity, material non-linearity and boundary condition non-linearity such as automotive collision. Because of its complexity, numerical simulation of automotive collision is very time-consuming. So it is very difficult to obtain satisfactory computational accuracy and efficiency without supper-computers. In order to fulfill the needs for computational speed and capacities, which is incurred in automotive collision computing, a low-cost and high-performance clustered parallel computers platform has been set up based on the Redhat-Linux system and MPI parallel platform through the 100M Ethernet. Numerical example for a minibus indicates that the clustered parallel computers platform has a very high computational parallel efficiency and supplies a very good computational condition for the research on automotive crashworthiness.
Key words: clustered parallel computers parallel computation automotive crashworthiness large-scale impact-contact the finite element method
1 引言
大规模冲击接触问题是一个涉及几何非线性、材料非线性和边界非线性的复杂问题[1~2]，它存在于许多工程领域，如汽车碰撞和金属成形等，对该问题的研究具有非常重要的工程意义。有限元法作为一种精确高效的数值分析方法，在大规模冲击接触问题的分析中得到越来越广泛的应用[3~4]。并行计算是提高计算能力、求解复杂问题的有效手段。利用并行计算，可以充分发挥有限元法的优势，解决在串行方式下因规模大、时间长而难以很好解决的大规模冲击接触问题。
汽车碰撞是一种非常典型的大规模冲击接触问题，汽车结构耐撞性的数值模拟，体现了目前大变形条件下冲击接触问题的研究水平。为了能够模拟汽车结构局部的变形与接触，一辆整车模型至少需要包含6~10 万个单元，30 ~ 50 万个自由度[1,5]，参考汽车碰撞安全性法规，一般采用48 ~ 50km/h 的速度与刚性墙正面碰撞作为标准计算方案，以评价汽车结构的耐撞性能[6-7]。对于大规模冲击接触问题的数值模拟，典型的分析程序有PAM-CRASH，MSC.DYTRAN 和DYNA3D 等三维非线性动态有限元分析软件。其中，DYNA3D 已经发展成为汽车结构耐撞性分析的标准化软件[8]，对汽车设计和质量评估，具有非常重要的参考意义。
从已发表的文献来看，要计算一辆包含有10 万个单元整车的动态响应，在微机上尚很难进行，大多是在CRAY、IBM SP2 等超级计算机上进行计算[9]，一个碰撞方案一般需要计算数十小时。例如，当年计算一辆由20000 个壳单元和140 个梁单元所组成的Benz 轿车在100ms 内的响应情况，在CRAY Y-MP 4/216超级计算机上需要15 个CPU 小时[1]。 #p#page_title#e#
基于对上述情况的了解，首先对大规模冲击接触问题的求解过程进行了描述，从而阐明求解此类问题采用并行计算技术是非常必要的。然后，立足研究室现有的计算条件，提出并组建了8CPU 网络集群并行计算系统，满足了大规模冲击接触问题对存储规模和计算速度的迫切要求。该并行计算系统在某轻型客车耐撞性的改进设计中发挥了重要作用，给出的数值算例表明该系统具有很高的并行计算效率。
2 汽车碰撞的显示积分求解格式
汽车碰撞是一种非常典型的大规模冲击接触问题。汽车结构耐撞性的分析模型除了要满足运动平衡方程、应变位移关系、应力应变关系及相应的初始条件和边界条件外，还要满足动态接触约束条件。把动态接触约束条件引入虚位移原理，可得到t 时刻的平衡方程[10]
在方程（1）的右端，第四项代表与接触条件有关的泛函。如果接触力fc和贯入量uc是相互独立的变量，那么该泛函可以分解为两项，如下式所示[10]
方程（5）所示的中心差分法是一种非常有效的显式算法，求解时无需形成刚度矩阵，基本上可以在单元一级进行求解，可以避免刚度矩阵的求逆，计算上的好处是显而易见的。另外，中心差分法是条件稳定算法，稳定性准则能自动限制时间步长的大小，从而保证了积分的精度。
为了能够计算出方程（5）中的接触力tFc，也就是方程（2）或式（3）中的表面积分，必须先确定接触边界Sc，需要有相应的接触搜索算法和接触力算法。大规模动态接触问题的接触搜索过程可以分为两个阶段：全局搜索和局部搜索。全局搜索就是要粗略地确定可能发生接触的结点和单元，即找出潜在的接触块。局部搜索就是要针对已经找到的潜在接触块，精确定位结点与单元之间的接触状态、接触位置及贯入量[12]。在每一个时间步长内，利用有效的接触搜索和接触力算法判断结点和单元的接触状态，最终得到计算结果。
3 网络集群并行计算平台的组建和调试
对于一辆整车的碰撞模拟，一般要包含数十万个单元，采用中心差分法利用显示积分格式进行计算，通常要计算数十万个时间步长，因此，借助并行计算平台是非常必要的。Belytscko 专为并行环境建立了接触算法，从而使得DYNA3D 软件具有很好的并行计算能力。为此，本文组建了如图1 所示的网络集群并行计算平台。
计算机设备：8 台相同的高性能微机（PIV2.0G CPU / 512M RAM / 100M 网卡）
网络设备：选用Cisco 公司生产的高性能100M 以太网交换机（switch）
操作系统：使用RedHat Linux7.3 操作系统，它是源代码公开的多用户操作系统，可免费获得。
并行平台：采用最新版的并行平台MPI（lamMPI6.5.6-tcp）
计算模块：采用功能强大的LS-Dyna3Dmpp960 并行计算软件
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3.2 8CPU 网络集群并行计算环境的组建和调试
(1) 如图1 所示，把参与并行计算的8 台结点机接入并行计算网络环境，在每一台结点机上安装最新版的RedHat Linux7.3 操作系统。
(2) 在所有参与计算的结点机上，以root 登录，配置/etc/hosts 文件，并在每一台结点机上测试ping 其他结点机，确保各个结点机之间通讯正常。
(3) 在所有参与计算的结点机上，以root 登录，安装lam/MPI 并行消息传递平台lam-6.5.6-tcp，并添加用户账号。
(4) 在所有参与计算的结点机上，以新账户登录，在新账户的根目录下，编辑 .rhosts 文件，把所有结点机的hostname 写入。
(5) 测试运行环境：在所有结点机上，以新账户登录，执行命令rsh mpi** echo hello，如果全部返回hello, 则表明运行环境配置正确；如提示输入password，请检查每台结点机的设置是否正确。在新用户根目录，编辑文本文件hosts.list，写入所有结点机的主机名（如果一台机器有两个CPU， 则重复这一行），执行lamboot –v hosts.list，如果看到提示：
Executing hboot on n0 (mpi01 - 1 CPUs)...
Executing hboot on n0 (mpi02 - 1 CPUs)...
……
Executing hboot on n0 (mpi05 - 2 CPUs)...
topology done
则说明每台机器的并行环境lam/MPI 配置正确，并行消息传递可以正常进行；如提示输入password或其他错误提示，需要重新配置。
安装LSTC/LS-DYNA MPP 960，编辑新用户根目录下的 .bashrc 文件，设置计算和授权文件路径，然后提取机器信息，将生成的lstc.log 文件发往软件经销商处获取授权即可。
4 某轻型客车正面碰撞的数值模拟
4.1 有限元计算模型
某轻型客车以初速度48km/h 与刚性墙正面碰撞，该车的有限元计算模型如图2 所示，包含165708 个单元，106242 个结点，约60 万自由度，前部吸能区定义自接触，使用本研究室最先进的微机（PIV2.0G CPU/ 1.0G RAM）计算80ms 内的响应，需要计算193600 个时间步长，数十小时才能完成。对该车进行耐撞性改进设计需要分析上百个可能的改进方案，计算量巨大，时间紧迫，因此，仅仅依靠单机在短时间内完成这些计算是不可想象的。
使用网络集群并行计算平台进行计算，得到的并行计算结果如表1 和图3 ~ 图5 所示。
利用网络集群并行计算平台，分析了100 多个可能的改进方案，最终得到耐撞性改进优选方案。图6为改进前后车架右B柱下测点的加速度对比曲线，从图中可见，改进前该测点的加速度峰值很高（约92.1g），加速度脉宽很窄，改进后的模拟加速度峰值大大降低（约62.3g），脉宽有所增加，这表明该车改进后的耐撞性大大提高。改进后该测点模拟加速度曲线与实测曲线的波形变化基本吻合，峰值相差不大（实测峰值约58.7g），这表明本文的计算模型和计算结果是可靠的。
5 总结
(1) 针对大规模冲击接触问题的数值模拟极为耗时，立足普通实验室的现有计算条件，组建了使用灵活、可扩展性强、低成本高性能的网络集群并行计算平台，满足了大规模冲击接触问题对存储规模和计算速度的迫切要求，该系统可以在国内的普通实验室中推广使用。
(2) 对某轻型客车的正面碰撞过程进行了数值计算，表明本文组建的网络集群并行计算平台具有很高的并行计算效率，通过大量数值模拟，提出汽车结构耐撞性改进优选方案，取得很好的改进效果。 #p#page_title#e#
(3) 应该指出的是，网络集群并行计算是通用的计算技术，它不仅仅适用于提高大规模冲击接触问题的计算规模，还可以适用于其他的科学计算领域。它构造简单，使用灵活，只需要很少的投资就可以大大提高计算能力。因此，立足普通实验室现有的计算条件，组建各具特色的网络集群并行计算平台具有非常重要的实际意义。
参考文献
1 Schweizerhof K, Nilsson L and Hallquist JO. Crashworthiness analysis in the automotive industry. International Journal of Computer Applications in Technology, 1992, 5(2-4): 134~156
2 Bittencourt E, Creus GJ. Finite element analysis of three-dimensional contact and impact in large deformation problems. Computers and Structures, 1998, 69: 219~234
3 Lin FH, Tseng AA. A finite element analysis of elasto-plastic contact problems in metal forming. Materials and Design, 1998, 19: 99~108
4 Vasudevan S. Okada H and Atluri SN. Development of a new frame finite element for crash analysis using a mixed variational principle and rotations as independent variables, Finite Elements in Analysis and Design. 1996, 23: 155~171
5 Elsner B, Galbas HG, Gorg B, et al.. A parallel multi-level approach for contact problems in crashworthiness simulation, 3rd International Conference in Computational Structures Technology, Budapest, Hungary, 1996
6 Walker B. The crash analysis of a passenger vehicle under differing frontal crash conditions. SAE Paper 932910, 1993
7 Saha NK. Simulation of frontal barrier offset impacts and comparison of intrusions and decelerations. SAE Paper 950647, 1995
8 Schauer DA, Hoover CG, Kay GJ. Crashworthiness simulations with DYNA3D. Transportation Research Record, 1996, 1528: 124~129
9 Whirley RG and Engelmann BE. Automatic contact in DYNA3D for vehicle crashworthiness. Crashworthhiness and Occupant Protection in Transportation Systems, Proceedings of the 1993 ASME Winter Annual Meeting, ASME Applied Mechanics Division, 1993, 15~29
10 Vasudevan S. Okada H and Atluri SN. Development of a new frame finite element for crash analysis using a mixed variational principle and rotations as independent variables. Finite Elements in Analysis and Design. 1996, 23: 155~171
11 Zhong ZH. Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. Oxford University Press, Oxford, 1993
12 Wang SP, Nakamachi E. The inside-outside contact search algorithm for finite element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997; 40(19): 3665~3685
13 Hallquist JO. LS-DYNA Theoretical Manual. Livermore Software Technology Corporation, Livermore California, 1998
14 Whirley RG, Engelmann BE. Automatic contact algorithm in DYNA3D for crashworthiness and impact problems. Nuclear Engineering and Design. 1994;150(2-3): 225~233(end)
关键词：网络集群系统 并行计算 汽车结构耐撞性 大规模冲击接触 有限元法
Numerical Simulation of Automotive Collision using Clustered Parallel Computers
Kong Fanzhong, Zhang Jinhuan, Wang Dazhi, Huang Shilin
State Key Lab of Automotive Safety and Energy, Tsinghua University
[Abstract] With large deformation, the behavior of impact-contact computation presents geometric non-linearity, material non-linearity and boundary condition non-linearity such as automotive collision. Because of its complexity, numerical simulation of automotive collision is very time-consuming. So it is very difficult to obtain satisfactory computational accuracy and efficiency without supper-computers. In order to fulfill the needs for computational speed and capacities, which is incurred in automotive collision computing, a low-cost and high-performance clustered parallel computers platform has been set up based on the Redhat-Linux system and MPI parallel platform through the 100M Ethernet. Numerical example for a minibus indicates that the clustered parallel computers platform has a very high computational parallel efficiency and supplies a very good computational condition for the research on automotive crashworthiness.
Key words: clustered parallel computers parallel computation automotive crashworthiness large-scale impact-contact the finite element method
1 引言
大规模冲击接触问题是一个涉及几何非线性、材料非线性和边界非线性的复杂问题[1~2]，它存在于许多工程领域，如汽车碰撞和金属成形等，对该问题的研究具有非常重要的工程意义。有限元法作为一种精确高效的数值分析方法，在大规模冲击接触问题的分析中得到越来越广泛的应用[3~4]。并行计算是提高计算能力、求解复杂问题的有效手段。利用并行计算，可以充分发挥有限元法的优势，解决在串行方式下因规模大、时间长而难以很好解决的大规模冲击接触问题。
汽车碰撞是一种非常典型的大规模冲击接触问题，汽车结构耐撞性的数值模拟，体现了目前大变形条件下冲击接触问题的研究水平。为了能够模拟汽车结构局部的变形与接触，一辆整车模型至少需要包含6~10 万个单元，30 ~ 50 万个自由度[1,5]，参考汽车碰撞安全性法规，一般采用48 ~ 50km/h 的速度与刚性墙正面碰撞作为标准计算方案，以评价汽车结构的耐撞性能[6-7]。对于大规模冲击接触问题的数值模拟，典型的分析程序有PAM-CRASH，MSC.DYTRAN 和DYNA3D 等三维非线性动态有限元分析软件。其中，DYNA3D 已经发展成为汽车结构耐撞性分析的标准化软件[8]，对汽车设计和质量评估，具有非常重要的参考意义。
从已发表的文献来看，要计算一辆包含有10 万个单元整车的动态响应，在微机上尚很难进行，大多是在CRAY、IBM SP2 等超级计算机上进行计算[9]，一个碰撞方案一般需要计算数十小时。例如，当年计算一辆由20000 个壳单元和140 个梁单元所组成的Benz 轿车在100ms 内的响应情况，在CRAY Y-MP 4/216超级计算机上需要15 个CPU 小时[1]。 #p#page_title#e#
基于对上述情况的了解，首先对大规模冲击接触问题的求解过程进行了描述，从而阐明求解此类问题采用并行计算技术是非常必要的。然后，立足研究室现有的计算条件，提出并组建了8CPU 网络集群并行计算系统，满足了大规模冲击接触问题对存储规模和计算速度的迫切要求。该并行计算系统在某轻型客车耐撞性的改进设计中发挥了重要作用，给出的数值算例表明该系统具有很高的并行计算效率。
2 汽车碰撞的显示积分求解格式
汽车碰撞是一种非常典型的大规模冲击接触问题。汽车结构耐撞性的分析模型除了要满足运动平衡方程、应变位移关系、应力应变关系及相应的初始条件和边界条件外，还要满足动态接触约束条件。把动态接触约束条件引入虚位移原理，可得到t 时刻的平衡方程[10]
在方程（1）的右端，第四项代表与接触条件有关的泛函。如果接触力fc和贯入量uc是相互独立的变量，那么该泛函可以分解为两项，如下式所示[10]
方程（5）所示的中心差分法是一种非常有效的显式算法，求解时无需形成刚度矩阵，基本上可以在单元一级进行求解，可以避免刚度矩阵的求逆，计算上的好处是显而易见的。另外，中心差分法是条件稳定算法，稳定性准则能自动限制时间步长的大小，从而保证了积分的精度。
为了能够计算出方程（5）中的接触力tFc，也就是方程（2）或式（3）中的表面积分，必须先确定接触边界Sc，需要有相应的接触搜索算法和接触力算法。大规模动态接触问题的接触搜索过程可以分为两个阶段：全局搜索和局部搜索。全局搜索就是要粗略地确定可能发生接触的结点和单元，即找出潜在的接触块。局部搜索就是要针对已经找到的潜在接触块，精确定位结点与单元之间的接触状态、接触位置及贯入量[12]。在每一个时间步长内，利用有效的接触搜索和接触力算法判断结点和单元的接触状态，最终得到计算结果。
3 网络集群并行计算平台的组建和调试
对于一辆整车的碰撞模拟，一般要包含数十万个单元，采用中心差分法利用显示积分格式进行计算，通常要计算数十万个时间步长，因此，借助并行计算平台是非常必要的。Belytscko 专为并行环境建立了接触算法，从而使得DYNA3D 软件具有很好的并行计算能力。为此，本文组建了如图1 所示的网络集群并行计算平台。
图1 8CPU 网络集群并行计算平台示意图
计算机设备：8 台相同的高性能微机（PIV2.0G CPU / 512M RAM / 100M 网卡）
网络设备：选用Cisco 公司生产的高性能100M 以太网交换机（switch）
操作系统：使用RedHat Linux7.3 操作系统，它是源代码公开的多用户操作系统，可免费获得。
并行平台：采用最新版的并行平台MPI（lamMPI6.5.6-tcp）
计算模块：采用功能强大的LS-Dyna3Dmpp960 并行计算软件
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3.2 8CPU 网络集群并行计算环境的组建和调试
(1) 如图1 所示，把参与并行计算的8 台结点机接入并行计算网络环境，在每一台结点机上安装最新版的RedHat Linux7.3 操作系统。
(2) 在所有参与计算的结点机上，以root 登录，配置/etc/hosts 文件，并在每一台结点机上测试ping 其他结点机，确保各个结点机之间通讯正常。
(3) 在所有参与计算的结点机上，以root 登录，安装lam/MPI 并行消息传递平台lam-6.5.6-tcp，并添加用户账号。
(4) 在所有参与计算的结点机上，以新账户登录，在新账户的根目录下，编辑 .rhosts 文件，把所有结点机的hostname 写入。
(5) 测试运行环境：在所有结点机上，以新账户登录，执行命令rsh mpi** echo hello，如果全部返回hello, 则表明运行环境配置正确；如提示输入password，请检查每台结点机的设置是否正确。在新用户根目录，编辑文本文件hosts.list，写入所有结点机的主机名（如果一台机器有两个CPU， 则重复这一行），执行lamboot –v hosts.list，如果看到提示：
Executing hboot on n0 (mpi01 - 1 CPUs)...
Executing hboot on n0 (mpi02 - 1 CPUs)...
……
Executing hboot on n0 (mpi05 - 2 CPUs)...
topology done
则说明每台机器的并行环境lam/MPI 配置正确，并行消息传递可以正常进行；如提示输入password或其他错误提示，需要重新配置。
安装LSTC/LS-DYNA MPP 960，编辑新用户根目录下的 .bashrc 文件，设置计算和授权文件路径，然后提取机器信息，将生成的lstc.log 文件发往软件经销商处获取授权即可。
4 某轻型客车正面碰撞的数值模拟
4.1 有限元计算模型
某轻型客车以初速度48km/h 与刚性墙正面碰撞，该车的有限元计算模型如图2 所示，包含165708 个单元，106242 个结点，约60 万自由度，前部吸能区定义自接触，使用本研究室最先进的微机（PIV2.0G CPU/ 1.0G RAM）计算80ms 内的响应，需要计算193600 个时间步长，数十小时才能完成。对该车进行耐撞性改进设计需要分析上百个可能的改进方案，计算量巨大，时间紧迫，因此，仅仅依靠单机在短时间内完成这些计算是不可想象的。
图2 某轻型客车的有限元计算分析模型
使用网络集群并行计算平台进行计算，得到的并行计算结果如表1 和图3 ~ 图5 所示。
表1 不同结点机数下的并行计算结果
图3 不同结点机数下的并行加速比 图4 不同结点机数下的并行计算效率
图5 不同结点机数下的并行加速比曲线 图6 车架右B 柱下测点的加速度曲线
利用网络集群并行计算平台，分析了100 多个可能的改进方案，最终得到耐撞性改进优选方案。图6为改进前后车架右B柱下测点的加速度对比曲线，从图中可见，改进前该测点的加速度峰值很高（约92.1g），加速度脉宽很窄，改进后的模拟加速度峰值大大降低（约62.3g），脉宽有所增加，这表明该车改进后的耐撞性大大提高。改进后该测点模拟加速度曲线与实测曲线的波形变化基本吻合，峰值相差不大（实测峰值约58.7g），这表明本文的计算模型和计算结果是可靠的。
5 总结
(1) 针对大规模冲击接触问题的数值模拟极为耗时，立足普通实验室的现有计算条件，组建了使用灵活、可扩展性强、低成本高性能的网络集群并行计算平台，满足了大规模冲击接触问题对存储规模和计算速度的迫切要求，该系统可以在国内的普通实验室中推广使用。
(2) 对某轻型客车的正面碰撞过程进行了数值计算，表明本文组建的网络集群并行计算平台具有很高的并行计算效率，通过大量数值模拟，提出汽车结构耐撞性改进优选方案，取得很好的改进效果。 #p#page_title#e#
(3) 应该指出的是，网络集群并行计算是通用的计算技术，它不仅仅适用于提高大规模冲击接触问题的计算规模，还可以适用于其他的科学计算领域。它构造简单，使用灵活，只需要很少的投资就可以大大提高计算能力。因此，立足普通实验室现有的计算条件，组建各具特色的网络集群并行计算平台具有非常重要的实际意义。
参考文献
1 Schweizerhof K, Nilsson L and Hallquist JO. Crashworthiness analysis in the automotive industry. International Journal of Computer Applications in Technology, 1992, 5(2-4): 134~156
2 Bittencourt E, Creus GJ. Finite element analysis of three-dimensional contact and impact in large deformation problems. Computers and Structures, 1998, 69: 219~234
3 Lin FH, Tseng AA. A finite element analysis of elasto-plastic contact problems in metal forming. Materials and Design, 1998, 19: 99~108
4 Vasudevan S. Okada H and Atluri SN. Development of a new frame finite element for crash analysis using a mixed variational principle and rotations as independent variables, Finite Elements in Analysis and Design. 1996, 23: 155~171
5 Elsner B, Galbas HG, Gorg B, et al.. A parallel multi-level approach for contact problems in crashworthiness simulation, 3rd International Conference in Computational Structures Technology, Budapest, Hungary, 1996
6 Walker B. The crash analysis of a passenger vehicle under differing frontal crash conditions. SAE Paper 932910, 1993
7 Saha NK. Simulation of frontal barrier offset impacts and comparison of intrusions and decelerations. SAE Paper 950647, 1995
8 Schauer DA, Hoover CG, Kay GJ. Crashworthiness simulations with DYNA3D. Transportation Research Record, 1996, 1528: 124~129
9 Whirley RG and Engelmann BE. Automatic contact in DYNA3D for vehicle crashworthiness. Crashworthhiness and Occupant Protection in Transportation Systems, Proceedings of the 1993 ASME Winter Annual Meeting, ASME Applied Mechanics Division, 1993, 15~29
10 Vasudevan S. Okada H and Atluri SN. Development of a new frame finite element for crash analysis using a mixed variational principle and rotations as independent variables. Finite Elements in Analysis and Design. 1996, 23: 155~171
11 Zhong ZH. Finite Element Procedures for Contact-Impact Problems. Oxford University Press, Oxford, 1993
12 Wang SP, Nakamachi E. The inside-outside contact search algorithm for finite element analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1997; 40(19): 3665~3685
13 Hallquist JO. LS-DYNA Theoretical Manual. Livermore Software Technology Corporation, Livermore California, 1998
14 Whirley RG, Engelmann BE. Automatic contact algorithm in DYNA3D for crashworthiness and impact problems. Nuclear Engineering and Design. 1994;150(2-3): 225~233(end)
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